Paso 3 Desarrollar ejercicios matemáticos con herramientas de álgebra computacional

Título del proyecto 

Las TIC como estrategia para fortalecer las dificultades que presentan los estudiantes de noveno grado en el tema de las medidas de tendencia central.

Planteamiento del Problema 

El miedo a las matemáticas es un evento cultural para muchos niños y jóvenes estudiantes, ya que se ha venido transmitiendo de generación en generación, por influencia de la sociedad y por la forma de enseñanza.

“Los errores de los estudiantes, son intentos razonables, pero no exitosos de adaptar un conocimiento adquirido a una nueva situación. Se entiende que el error tendrá distintas procedencias, pero siempre se considera como un esquema cognitivo inadecuado y no sólo como consecuencia de falta de conocimiento o de un despiste” (Ruano & Socas & Palarea, 2008). 

Por tanto, el docente de hoy, busca cambiar el pensamiento de estas personas y hacer que las Matemáticas sean un proceso de aprendizaje interesante, fácil para desarrollar y sobre todo llamativo; con métodos que hoy causan novedad, como lo son las TIC, donde pueden manejar sistemas operativos matemáticos que nos ofrecen la resolución de problemas con una facilidad increíble.

En el quehacer diario, al interior de las aulas, ha de tenerse claro que en los lineamientos curriculares se especifican conceptos y procedimientos relacionados con los cinco pensamientos matemáticos, teniendo en cuanta lo anterior y partiendo de la importancia que existe el reconocer y afianzar efectivamente los saberes o conocimientos matemáticos en los estudiantes desde los diferentes pensamientos matemáticos , es necesario evidenciar la problemática, analizar y trabajar para darle su respectiva solución, ya que los estudiantes  han presentado dificultades de aprendizaje en temas relacionados con la estadística, más exactamente con las medidas de tendencia central. 

¿Cuáles son las falencias que presentan los estudiantes del grado noveno con respecto al tema de medidas de tendencia central y cómo proporcionar herramientas mediadas por las TICs, que contribuyan a superar dichas dificultades?

Justificación del problema.

El presente proyecto se desarrolla por la necesidad de comprender las dificultas que presentan los estudiantes con relacion al desarrollo de actividades académicas relacionadas con el  pensamiento Aleatorio y sistemas de datos en torno al tema de medidas de tendencia central (media, mediana y moda). Diariamente en la labor decente se observa que desde el grado primero  se inicia a trabajar en competencias matemáticas que brinden a los estudiantes bases que a lo largo del ciclo escolar se van fortaleciendo para que cuando lleguen a los últimos grados básica secundaria y se deban enfrentar a la temática mencionada puedan responder efectivamente a estas. Pero en estos grados van quedando vacíos académicos que les impiden a los estudiantes comprender muchos temáticas en los grados superiores.

Al llegar al proceso de aprendizaje en los grados sextos y séptimos se ve que las mayores dificultades en el manejo y apropiación de las medidas de tendencia central radican principalmente en:

• Manejo y diferenciación conceptual de la moda y media estadística contemplando los siguientes aspectos:
• Moda: tienden a tomar la mayor frecuencia absoluta en lugar de la variable.
• Interpretan la moda como la mayoría de datos y no como la más frecuente
• Mediana: no ordenan los datos para poder calcular la mediana, no ponen en práctica en el método para hallar la mediana con datos pares e impares.
• Hallar  la mediana en tablas de frecuencia con los valores de las variables sin tener en cuenta las frecuencias.
• Media: sumar las frecuencias pero no dividirlo entre la cantidad de datos suministrados 
• Calcular la moda en vez de la mediana.

En octavo y noveno es el grado donde se evidencia claramente aun más la dificultad debido a que todas las situaciones mencionadas anteriormente son aun mas latentes y los estudiantes presentan  problemas para Interpretar y utilizar los conceptos de media, mediana y moda en su ámbito personal y laboral, muchos estudiantes en un grado tan alto todavía presentan dificultades en la resolución de operaciones básicas, confundes las definiciones con relacion a las medidas de tendencia central y las ecuaciones  o procesos matemáticos que deben utilizar para darle solución a los problemas presentados, claramente se ve que hay dificultades tanto en el conocimiento conceptual, como en el conocimiento procedimental, fundamentales en el desarrollo de toda actividad matemática. 

Es así como por el desconocimiento y la falta de comprensión de las propiedades relacionadas con los conceptos, se genera confusión al resolver problemas o al analizar resultados que involucren medidas de tendencia central. En particular, la media aritmética cuenta con propiedades que son desconocidas u olvidadas al momento de analizar situaciones que la involucran:

• Contribuir a la comprensión de las dificultades de estudiantes de Grado décimo en relación a las propiedades conceptuales
• Identificar estrategias que utilizan los estudiantes cuando resuelven problemas relacionados con los aspectos estadístico y abstracto.

En Colombia, a partir de la expedición de la Ley 115 de 1994, las Instituciones educativas y docentes cuentan con Lineamientos curriculares para cada área, éstos sirven de punto de partida y referencia para la elaboración de planes de área, proporcionando orientaciones y recomendaciones para cada planeación curricular. De esta forma, una tendencia actual en los currículos de matemáticas es la de favorecer el desarrollo del pensamiento aleatorio.

Objetivo general

Proporcionar estrategias pedagógicas mediadas por las TIC  que permitan que los estudiantes de grado noveno superen las falencias que presentan con respecto al tema de medidas de tendencia central 

Objetivos específicos 

• Utilizar los estándares correspondientes al pensamiento Aleatorio y sistemas de datos para diseñar actividades ludico pedagógicas que permitan fortalecer el tema de medidas de tendencia central. 
• Implementar el uso de las TIC’S como  herramienta que a su vez se convierte en una estrategia para motivar, incentivar, manipular, viabilizar y observar como esta se aplicada a la temática planteada y que con su ayuda se potencialice su enseñanza aprendizaje.
• Resolver y formular problemas a partir de un conjunto de datos, aplicando  cálculo rápido para resolver situaciones cotidianas, hallando la media, moda y mediana de un conjunto de datos.

Marco teórico

Evolución Histórica del concepto de Media, Mediana y Moda

Adolphe Quetelet (1796-1874), fue un importante fundador de la Estadística y él introdujo la noción del "hombre promedio" (l'homme moyen) como un medio de entender los fenómenos sociales complejos tales como tasas de criminalidad, tasas de matrimonio o tasas de suicidios. Actualmente el índice de Quetelet o índice de masa corporal es utilizado internacionalmente para determinar la obesidad. 

Hace más de 40 años, las distribuciones de frecuencias constituían una forma especialmente compacta y útil de organizar y presentar los datos, y por lo tanto de resumir. Es el concepto de frecuencia empírica el que decanta a la noción más teórica de distribución de probabilidades. Y serán las distribuciones de probabilidad los bloques fundamentales desde los cuales se construirán las teorías de Probabilidad y Estadística.

  A partir de los procesos de recopilación, organización, tabulación y representación gráfica de los datos, y de la determinación de los estadísticos, se obtiene una forma resumida, la que describe cuantitativamente el fenómeno estudiado. La característica básica de los estadísticos es que representan al conjunto y no a un componente cualquiera.

 “El surgimiento progresivo del concepto que hoy conocemos como "media aritmética", comenzó como útil implícito en la solución de problemas prácticos, y más tarde como objeto de estudio en sí mismo. Los problemas prácticos y más tarde teóricos, han llevado a la definición del concepto de media, a la identificación de sus propiedades, más tarde a la definición de otras medidas de posición central, como la mediana o moda, que son preferibles a la media en algunas situaciones concretas. Además, ha sido necesario „probar‟ o „demostrar‟ la validez de estas soluciones y propiedades, para aceptarlas como parte del conocimiento matemático.” (Batanero, 2000).

Conceptos de Media, Mediana y Moda

La media (x), la mediana (Me), la moda (Mo) y el rango son estadísticos, también conocidos como estadísticos descriptivos. Ellos son ejemplos de estadígrafos que proveen una cierta noción sobre la magnitud de tales valores; los primeros representan el valor “medio” de la distribución de frecuencias, y el último representa el grado de variabilidad. La media se calcula sumando todos los valores de la variable y luego dividiendo por el número de observaciones. Sus características primordiales es que es estable en el muestreo, es más uniforme de muestra a muestra que los otros estadígrafos de posición. 

Propiedades de la media aritmética 

1. Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa e intervalos. 

2. Todos los valores son incluidos en el cálculo de la media.

3. Una serie de datos solo tiene una media. 

4. Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones. 

5. Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero. Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos. 

Desventajas de la media aritmética

1. Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos

2. No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos. 

3. Sólo se usa con variables cuantitativas.

La mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados éstos. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representará el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representará el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil. Características de la Mediana 

1. La mediana de un conjunto de datos es única. 

2. El valor de la mediana no es sensible a la presencia de datos extremos. 

3. Puede ser calculada para datos en escala ordinal, intervalo y razón. 

4. Fácil de determinar en datos no agrupados.

 5.- Se puede calcular con clases con extremos abiertos datos.

La moda es el valor que cuenta con una mayor frecuencia en una distribución de datos. Es un estadígrafo de posición que se define como el valor más frecuente. En términos matemáticos, es el valor de la variable al que corresponde un máximo relativo. Características de la Moda 

1. Útil para medidas nominales y ordinales. 

2. No se afecta por valores extremos. 

3. Se puede calcular con clases abiertas. 

4. Puede no existir o no ser única 

Comparación de Media, Mediana y Moda 

La media no proporciona una adecuada idea de posición cuando existen valores extremos que pueden influir demasiado en su determinación. Una de las limitaciones de la media es que se ve afectada por valores extremos; valores muy altos tienden a aumentarla. Por otro lado, valores muy bajos tienden a bajarla, lo que implica que puede dejar de ser representativa de la población.

La mediana es un estadígrafo que divide la distribución en dos grupos con igual número de observaciones. Posee la ventaja que puede calcularse aun cuando los intervalos extremos no están bien determinados (mayor de 65 años), o las variables establecen un orden parcial (por ejemplo, grados militares). Posee la desventaja de su inestabilidad en el muestreo (en dos muestras la diferencia de medias es menor que la diferencia de medianas). 

La moda al igual que la mediana presenta inestabilidad en el muestreo y no permite un tratamiento algebraico. Estas dos son de fácil comprensión y no se influencian por los valores extremos. Una distribución bimodal de los datos tiene dos modas, es decir, dos datos que tienen la misma frecuencia absoluta máxima. Cuando en una distribución de datos se encuentran tres o más modas, entonces se dice multimodal. Si todas las variables tienen la misma frecuencia se concluye que no hay moda. 

Una variable es una característica medible de los elementos de la población, y de acuerdo a la escala en que se mide, una variable es cualitativa o cuantitativa. La media se calcula en variables de escala de intervalo y razón; la mediana con escala ordinal, intervalo y razón; y la moda con escala nominal y ordinal. Para el estudio de estos estadísticos es importante considerar tanto la escala de medición como la forma de la distribución. Entre los tipos de curvas que pueden presentar las distribuciones, se encuentran las simétricas (las observaciones equidistan del máximo central con la misma frecuencia, coinciden media, moda y mediana en las distribuciones simétricas y unimodales); las asimétricas (la „cola‟ más larga determina la dirección del sesgo, se separan media, moda y mediana); y las bimodales y multimodales.

La inserción de la tecnología en matemática

Son muchos los trabajos referentes a la introducción de las tecnologías en la educación, y no todos coinciden en sus opiniones. Así Artigue (2004), advirtiéndonos que no son la panacea ni la solución a la complejidad e infinidad de problemáticas que conlleva el aprendizaje de la matemática, opina que “Ciertamente estas tecnologías son socialmente y científicamente legítimas, pero a nivel de la escuela, esas legitimidades no son suficientes para asegurar la integración. Pues no se busca que la enseñanza forme alumnos aptos para funcionar matemáticamente con esas herramientas –lo que sería el caso por ejemplo de una formación de carácter profesional–: se busca mucho más. Efectivamente, lo que se espera de esas herramientas esencialmente es que permitan aprender más rápidamente, mejor, de manera más motivante, una matemática cuyos valores son pensados independientemente de esas herramientas. Lo que se necesita entonces es asegurar la legitimidad pedagógica de ellas, y eso es bien distante de asegurar su legitimidad científica o social. Esto, como hemos mostrado, genera un círculo vicioso que enferma la formación en un esquema de militancia y proselitismo, poco adecuado para otorgar herramientas a los docentes que les permitan hacer frente a las dificultades que inevitablemente van a encontrar, que les permitan identificar las necesidades matemáticas y técnicas de las génesis instrumentales y de responderlas eficazmente; poco adecuado también para permitirles la necesaria superación de una visión ingenua de la tecnología como remedio a las dificultades de la enseñanza.” (Artigue, 2004) Se debe tener en cuenta que solamente cuando se tiene claridad sobre el propósito de plantear un problema, puede decidirse claramente qué tecnología (mental, papel y lápiz, electrónica, etc.) se usará. Lo que cambia con la tecnología es el conjunto de problemas entre los que se puede escoger y la forma en que se pueden presentar. Algunos son muy difíciles de plantear en las aulas que utilizan únicamente lápices, biromes, pizarrón y tizas. Si las clases son planificadas y/o utilizan programas con concepciones de un aprendizaje constructivo, las tecnologías pueden incrementar la cantidad de problemas que pueden pensar y resolver los estudiantes. Permiten que en las clases se logre experimentar sobre búsqueda de regularidades, estructuras y patrones, y comportamientos de los objetos matemáticos, conjeturando sobre ellos e iniciándose en un camino de argumentaciones tendientes a la demostración.

Integrar recursos TIC para el estudio de la estadística

Las TIC son aquellos medios tecnológicos informáticos y telecomunicaciones orientados a favorecer los procesos de información y comunicación; aplicadas a la enseñanza han contribuido a facilitar procesos de creación de contenidos multimedia, nuevos escenarios de apertura y entornos colaborativos. 

Integrar recursos TIC significa utilizar las herramientas y la información que nos ofrece la red en las actividades diarias de la clase para conseguir los objetivos del currículum y proporcionar oportunidades de aprendizaje a los alumnos (Adell, 2004). Se busca que las tecnologías de la información y la comunicación potencien la propuesta didáctica usándolas e interviniendo de forma tal que favorezcan la construcción de conocimientos por parte de los alumnos. Son varios los recursos TIC disponibles para el estudio de la estadística, desde los específicos de esta rama de la matemática tales como SimStat, WinIDAMS (herramienta de análisis estadístico de datos desarrollado por la UNESCO), BioStat, StadiS, InfoStat y otros, hasta los más comunes en las computadoras, tablets y celulares que poseen los alumnos tales como la planilla de cálculo de Excel y el programa Geogebra. La introducción del uso de tecnología en la planificación de este eje temático no se hace con intención de sólo resolver ejercicios mecánicos, sino también para propiciar la adquisición de los conocimientos a través de distintas formas de obtener información y luego compartir los resultados de las tareas realizadas. Así es que se utilizan videos extraídos de youtube o construidos con MovieMaker, historietas creadas con Pixton, presentaciones en Power Point y Prezi, entre otras.

Dificultades en el proceso de aprendizaje de las Matemáticas 

En cuanto a las dificultades, Socas, (1997, 126) propone la siguiente clasificación: “Aceptando que la naturaleza de las dificultades del aprendizaje de las matemáticas es de diversa índole y que se conectan y se refuerzan en redes complejas, estas pueden ser agrupadas en cinco grandes categorías: las dos primeras asociadas a la propia disciplina (objetos matemáticos y procesos de pensamiento), la tercera ligada a los procesos de enseñanza de las matemáticas, la cuarta en conexión con los procesos cognitivos de los alumnos, y una quinta, relacionada con la falta de un actitud racional hacia las matemáticas. 

De manera más explícita estas dificultades se pueden organizar, en líneas generales en los siguientes tópicos: 

1. Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos de las matemáticas. 

2. Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático. 

3. Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados para el aprendizaje de las matemáticas. 

4. Dificultades asociadas a los procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos.

5. Dificultades asociadas a actitudes afectivas y emocionales hacia las matemáticas…”

Considerando la importancia que tiene el estudio de la media, por ser tan utilizada desde los primeros niveles de escolaridad, y teniendo en cuenta que aunque parece sencilla su interpretación y algoritmo, las investigaciones sobre este concepto y sus propiedades muestran que existen muchas dificultades en todos los niveles escolares y que se hace necesario que se realicen más estudios en el campo de la enseñanza y aprendizaje de la Estadística y, en particular, en situaciones que involucren el uso de los promedios. De esta manera, se pueden proponer alternativas de solución que lleven a que los estudiantes interpreten, apliquen y reconozcan mejor el concepto de la media.

Gattuso y Mary, (1996) citados por Batanero, (2001) analizando las respuestas de estudiantes de secundaria y universitarios, con o sin explicación previa sobre la media, observaron que las estrategias utilizadas por los de mayor edad eran más algebraicas y además obtenían mejores resultados cuando calculaban medias de conjuntos de datos agrupados, mientras que los más jóvenes preferían usar el conjunto de datos sin agrupar, aunque mostraron un nivel de éxito superior en los problemas de cálculo "inversos", es decir, aquéllos en los que se conoce la media y se deben averiguar algunos de los datos iníciales.

Los estudios sobre la media realizados en las últimas décadas muestran que a pesar de que el concepto parece ser fácil, los alumnos presentan grandes dificultades en su comprensión. En la investigación de Pollasek, y Well, (1981) se ha visto que los alumnos universitarios utilizan la media simple en situaciones en las que se debe calcular la media ponderada, sin tener en cuenta la ponderación de los valores. Carvalho, (1998) encontró que los estudiantes no tenían en cuenta las frecuencias absolutas de cada valor, o que calculaban la media de los valores de las frecuencias. De igual manera Li y Shen, (1992) sostienen que cuando los datos se agrupan en intervalos, los estudiantes se limitan a calcular la media de todas las marcas de clase sin tener en cuenta que cada uno de los grupos debería ponderarse de modo distinto.

En aplicaciones prácticas de la media, es importante reconocerle el papel de representante de un conjunto de datos, según Mokros y Russell, (1995), los niños no podrán comprender las ideas de resumen de los datos o representante de los datos hasta que no conciban el conjunto de datos como un todo, y no como un agregado de valores. De acuerdo a este estudio se identificaron y analizaron cinco construcciones básicas sobre representatividad en los alumnos: La media como moda, la media como algoritmo, la media como algo razonable, la media como punto medio y la media como punto matemático de equilibrio. En Campbell, (1974), se expresa que los estudiantes siempre tienden a situar la media en el punto medio del conjunto de valores, propiedad que solo se cumple en distribuciones simétricas. Sin embargo, en las distribuciones asimétricas la moda o la mediana se convierten en el valor más representativo del conjunto de datos puesto que la media se traslada hacia uno de los extremos.

Bibliografía

           Belfiori, L. (2014). Enseñanza de estadística con recursos TIC. In Congreso Iberoamericano de Ciencia, Tecnología, Innovación y Educación. Buenos Aires (Argentina). Recuperado de http://scholar. googleusercontent. com/scholar.

         Estrella, S. (2008). Medidas de tendencia central en la enseñanza básica en Chile: análisis de un texto de séptimo año. Revista chilena de educación matemática, 4(1), 20-32.

          Mayén, S. (2009). Comprensión de las medidas de tendencia central en estudiantes mexicanos de educación secundaria y bachillerato.

          Batanero, C. (2001). Didáctica de la Estadística. Grupo de Investigación en Educación Estadística. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.

          Campbell, S. (1974). Flaws and fallacies in statistical thinking. New Jersey. Prentice Hall.

          Carvalho. C. (1998). Tarefas estadísticas e estratégias de resposta. Comunicación presentada en el VI. Encuentro en Educación Matemática de la Sociedad Portuguesa de Ciencias de la Educación. Castelo de Vide. Portugal.

          Díaz, V, & Poblete, A. (2001). Contextualizando tipos de problemas matemáticos en el aula. Revista de Didáctica de las Matemáticas. Editorial GRAÓ. Barcelona. 45, 33 - 41.